SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİNE GİRİŞ



Sonlu Elemanlar Yönteminin (Finite element method) esası sonsuz sayıda serbestlik derecesi olan sistemi, düğüm noktalarından birbiri ile bağlantılı olan sonlu sayıda basit elemanlar indirgeyip özelleştirmekten ibarettir. Sistemdeki düğüm noktalarına etkiyen kuvvetler ile bunun sonucunda yine sistemdeki düğüm noktalarında oluşan yer değiştirmeler arasındaki bağıntının (rijitlik veya esneklik matrisi) kurulması sistemlerin sonlu elemanlar ile analizinin esas amacını oluşturur.

 

            Şekildeki basit yay sistemi göz önüne alınırsa, sisteme etkiyen eksenel bir F kuvveti sonucunda yayın bu F kuvveti doğrultusunda U kadar elastik uzama yaptığı görülür.

 

Şekil – 1 : Basit yay sistemi

 

 

Burada sistem üzerine uygulanan F kuvveti;

 

F=k x U

 

şeklinde ifade edilir.  

 

Şekil - 2 : Malzeme rijitlikleri

 

 

Yay sabiti (k) birim yer değiştirme oluşturmak için gerekli kuvvet olarak tanımlanabilir.  Şekil-2’de çubuğun kesit alanı A, elastisite modülü  E, atalet momenti I ile ifade edilmektedir. Bir sonlu elemanın yay sabiti veya eksenel rijitliği yükleme türüne göre değiştiği görülmektedir. Dolayısıyla bir sonlu eleman için o elemanın serbestlik derecesine bağlı olarak, birden fazla yay sabiti veya rijitlik sabitlerinden söz etmek gerekir. Bu sabitlerin tamamı Rijitlik Matrisi (K)  adı verilen matrisel bir büyüklük ile ifade edilir.

 

Bir sonlu elemanın düğüm noktalarının yapabileceği yer değiştirmelerini sayısı elemanın serbestlik derecesi olarak tanımlanır. Bu sonlu elemanın düğüm noktalarındaki mevcut  serbestlikleri doğrultusunda uç kuvvetleri meydana gelir. Uzay çevreye ait bir sonlu elemanın serbestlik derecesi  6 ‘dır. Sırasıyla X, Y, Z eksenleri doğrultusunda Ux, Uy, Uz yer değiştirmeleri(deplesmanlar) yine sırasıyla X, Y, Z eksenleri etrafında Өxy, Өyz, Өxz dönmeleri uzay çerçeve elemanına ait serbestliklerdir. Bu serbestlikler sonucunda hesaplanan sırasıyla X, Y, Z, eksenleri doğrultusunda Fx, Fy, Fz kuvvetleri ile yine sırasıyla X, Y, Z, eksenleri etrafında Mxy, Myz, Mxz momentleri o sonlu elemana ait çubuk uç kuvvetleri (kesit tesirlerini) ifade etmektir.

 

İlerleyen makalelerimde çeşitli sistemlerin sonlu elemanlar ile çözümünden bahsedeceğim.